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自然神学附论（第九部分）

自然神学附论（第九部分）：支持宇宙有开始的第一个哲学论证

对凯拉姆宇宙论第二个前提的辩护

上周开始我们讨论了凯拉姆宇宙论。我对第一个前提进行了辩护。今天我们要讲该论证的第二个前提，即宇宙的存在有开始。

这显然在两个前提中更具争议性。我认为，如果宇宙开始存在，那么宇宙有其存在的起因这点是相当明显的。但宇宙开始存在这点是绝对不是显而易见的。所以我想要检验一下支持第二个前提的哲学论证和科学证据。

如果你们问我这两者间是什么关系，我会说，至少对我来说，第二个前提的第一条防线是哲学论证。我把科学证据仅视作在哲学论证基础上已经建立起来的结论的确认（经验上地）。我会经常在哲学论证和科学确认方面提到对这一前提的支持。

我们看下第一个哲学论证。加扎利（Al-Ghazali），我们用作检验这一论证之出发点的12世纪穆斯林神学家，主张如果宇宙的存在没有起点的话那么在以前就存在无数个过去事件。但是，他辩解说，无限数量的事物不可能存在。因此结论是不可能存在无限的过去。加扎利认识到，潜在地无限数量的事物可能存在，但他否认实际地无限数量的事物可能存在。我们理解潜无限（potential infinite）和实无限（actual infinite）之间这个绝对重大的区别很重要。

当我们说某物是潜无限的时，我们指的是某物是期限未定但朝着永远达不到的理想极限的无限进展的某物。你实际上永远达不到无限。无限只是接近的一个极限概念。例如，以任何有限的距离为例。你可以把这段距离一分为二，然后再分为四段，然后再分为八段，然后再分为十六段，然后再分为三十二段，无限持续下去。但你永远不会达到“第无限段”的分段。在你可以永远划分下去的意义上说，分段的数量是潜无限的。但你永远达不到无限。你永远不会得到实际无限数量的分段或者份数。这种无限的符号是双扭线（lemniscate）或懒八字（∞）。这是在数学里用于涉及无限极限的微积分的那类无限。

与之相反，实无限，可以说是，一种完整的无限。集合里项目的数量不在朝着无限增长；它就是无限的了！它是完整的、静止的，并且包含实际上无限数量的事物。

这类无限的符号是希伯来字面阿列夫（ℵ），用于集合论。在集合论里，数学家讨论像自然数集这类含有实际无限数量对象的集合。集合不向无限的极限增长。它是无限的。在这个集合里有实际无限数量的自然数。ℵ是一个数字。如果你们问我自然数集里要素的数量，答案是阿列夫零（ℵ0）。这就是自然数集里的对象的数量。[1]

严格来说，定义一个集合是实无限的是它适当的一部分的数量与全部集合里的对象的数量相同。所以，举例来说，想一下这个例子。奇数的数量与全部自然数的数量相同—即，ℵ0。完全相同。奇数的数量与自然数的数量一样，虽然自然数不仅包含技术还包含无数个偶数！严格来说，实无限的定义是一个集合里一部分对象的数量与整个集合对象的数量相同。

加扎利主张的是，尽管潜无限集合可能存在（就是说那些在任何时刻总是有限的但朝着无限之极限增长的集合），但是不可能存在实无限的集合—其中有实际无限数量的对象的集合。

开始讨论

学生：你说奇数的数量与自然数的实际数量相等。在我看来它一半是奇数一半是偶数。

克雷格博士：是的，很高兴你那样认为，因为当你把它从数学领域转变到人、木棍、石头和鸡蛋等的真实世界上时，就会产生各种荒唐的情景。你恰好会因此得到极其荒诞的结果。加扎利会说，尽管你可以讨论实无限集合，在纸上进行数学计算，但它不是可能存在于真实世界里的，因为它会涉及这类反直觉的荒谬之事。

学生：如果你有无数个奇数和无数个全部数字，那么它俩都是无限的，因此数量相等。

克雷格博士：正确。

学生：潜无限—那是你能想象某物是无限的这样一个概念。

克雷格博士：是的。

学生：因此它是潜在的，但它是一种无限的概念，而不是事物的实际数量。

克雷格博士：对！非常好！我很吃惊。注意她看到的区别。ℵ0是一个数量。它是一个量。它是这个集合里的对象的数量。双扭线（∞），或者说潜无限，不是一个数量。它是一个极限。它是一个理想极限的概念，但不是一个数字。明白这点很重要。

学生：我知道懒八字（∞）不是数字，像你说的，你不能对它进行数学运算。

克雷格博士：你可以把它用于微积分。它在进行微积分运算时被用到。

学生：好的，对。但你不能把它乘以2，因为那样的话它就等于它自己。但阿列夫（ℵ）在哪方面是数字呢，因为你也无法对它进行数学运算？

克雷格博士：实际上你可以。这是阿列夫有趣的地方，因为它们真的不止一个。记得我说自然数的数量是ℵ0吗？但实数的数量比自然数还多。[2] 你就会得到一系列带脚注的阿列夫ℵ0，ℵ1，ℵ2，一直到无限个。实际上有无数个这样的无限。这就是完全超越人类思想所能理解的领域。你可以用这些数字进行数学运算。这叫做超限算术。例如，ℵ0+ℵ0等于什么？嗯，答案是ℵ0。你可以使用这些数字来进行超限算术。你可以做乘法、加法，你可以进行指数运算（例如ℵ0的二次方）。这是一个可以用这种方式进行算术操作的数字。

有意思的是，这在我们讨论实无限是否可能真地存在时会很重要，你不能对它们进行减法和除法这样的逆向运算，因为那样的话你就会得到自相矛盾的结果。按规定—这是法则的一部分—你只能进行加法、乘法之类的正向运算，你不能做减法和除法（禁止那样做）。

学生：（脱麦）所以阿列夫分之一（1/ℵ）不等于零？

克雷格博士：是的，你不能对这类东西做除法。

学生：你说你可以得到无数个阿列夫。那是阿列夫的阿列夫次方（ℵℵ）吗？

克雷格博士：这个问题很好。我认为阿列夫的数量是ℵ0个，因为它们可以按0，1，2，3，4 ...... 枚举。所以如果你用自然数给它们做脚注，阿列夫的数量就是ℵ0。

学生：它是阿列夫的实无限吗？

克雷格博士：是的，对。

学生：根据定义ℵn与ℵn+1的比不总等于零吗？因为你不能把它们置于一比一的关系中。

克雷格博士：你不能做那种逆向运算。那是被禁止的。你是在试着对它们做逆向运算，你不可以那样。

学生：我认为你能够证明它是零。我想人们知道这点。我有错的可能。

克雷格博士：就我所知，你不能用一个阿列夫来除以另一个那样做那类逆向运算。

学生：对它的大小来说—下一个总是...

克雷格博士：更大。正确。这些是不同大小的无限。那是对的。ℵ1是比ℵ0大的集合。在那种意义上，它里面有另一个集合里没有的对象。

结束讨论

加扎利，我说过，对潜无限的概念没有意义。这只是理想极限。但他认为如果实际无限数量的事物如果能够存在的话，那么就会导致各种荒唐之事。如果我们要避免这些荒唐事的话我们就不得不否认实际无限数量的事物能够存在这点。那意味着宇宙历史中过去发生的事件的数量因此不可能是实际无限的。它一定是有限的。因此，宇宙不可能没有起点。宇宙一定有开始存在的起点。

开始讨论

学生：这些荒唐之事是指什么？

克雷格博士：我稍后会讲到。当然，当然，我只是想要你们确保都跟上进度，跟得上我讲的内容。你们理解这个基本的论证，即，实无限数量的事物能够存在这点是荒唐的，但一个无起点的过去包含实无限个事物，即，过去事件。所以过去不可能是实无限的。它一定是有限的，因此一定有起点。这是我希望大家都明白的基本论证。

学生：我是没有非常明白的学生之一。[3] 对我而言，理解什么是实无限一词的意思更好的方式是—你说的实无限不是无限的。与其说无限，你可以说有限。好像你说的是非无限的东西指的是它是有限的。好像我们开始就对这一述语的理解不一致。

克雷格博士：这是为何确保我们对这一定义有一致理解很重要的原因。

学生：我还是没懂。

克雷格博士：当数学家讨论实无限时，我说过，他们指的不是你刚刚所说的—这是某种有限事物或矛盾。它指的是这个集合是完整的，它不再朝着一个无限的极限增长。这个集合里存在真正无限数量的对象。那是“实（actual）”一词的效力。

学生：那在用词上是矛盾的。

克雷格博士：这就非常有趣，是吧？我稍后会讲到这一点。如果你按照集合论的法则和约定，你就不会遇到任何矛盾。如果你按照法则并且遵守定理和约定的话，它在逻辑上就不矛盾。但难就难在这儿，我稍后会讲一讲。

学生：所以你说的是，你可以对它相加和相乘，但不能反过来？

克雷格博士：是的。

学生：我不确定我理解你如何能相加、相乘但不能逆运算回去。你能够把实无限相加、相乘，但你不能对它相减或者相除。所以你不能返回去。我不理解你怎么不能返回去。

克雷格博士：在数学上你不能那样做。难点在于，我认为，如果这是真实存在的某个事物（例如一堆鸡蛋、硬币或一群人），你就能那样！我认为这说明了我们所说的。尽管这在纸上行得通（如果你遵守法则的话），但没理由认为那类法则在现实中也成立，你会遇到难题。我还没列举这些。

结束讨论

经常有人说加扎利这类论证根据现代数学是站不住脚的。在现代集合论里，我说过，实无限集合的使用是常见的。自然数集合里对象的数量是实无限的，而不只是潜无限的。许多人推断说，鉴于无限集合论在数学里的连贯性，这类论证就是说不通的。

但真是这样吗？现代集合论表明如果你采用某些定理和法则，那么你就可以用连贯的方式来讨论实无限集合，而不是自我矛盾，像我在回答之前那个问题时说的。这带来的一切是为连贯地讨论实无限设置某种论域。但它完全不表明这类数学实体真的存在或某实无限数量的事物真的存在。如果加扎利是对的，这一论域可以被简单地视为一个虚构王国，就像柯南道尔（Arthur Conan Doyle）小说里福尔摩斯的世界一样，而不是存在于真实世界里的东西。

开始讨论

学生：难道你也不能通过应用哥德尔不完全性定理—在任何数学系统中为使某事物成立你都要假设某事物是真，来批评该评论吗？并且你不能证明该假设是真的？

克雷格博士：我不认为那与我们在这里所提出的问题相关。我认为它指的是你无法证明无限集合论的连贯性，但我们并非要试图做这件事。所以我不认为该结果与我们这里提出的问题相关。[4]

学生：对阿列夫相加和相乘是可能的，因为它们都是无限的。但从它里面减去显然使它成为无限的一部分，这是不存在的，这证明所有奇数的总数等于其他所有数字的总数也不会存在，所以实无限实际上不存在，可能上帝除外。唯一的无限—无始无终的真无限—一直算作无限的只有上帝。对吗？

克雷格博士：你提出的问题包含若干问题。你不能在超限算术里做这些逆向运算的原因是因为你会得到自相矛盾的结果。我举个例子。假设你从所有自然数里把全部奇数减掉。剩下多少个数字？全部的偶数，对吗？所以无限减无限等于无限。但相反，假设你从所有自然数里把大于2的所有数字都减去。现在还剩几个数字？嗯，3个！所以无限减无限等于3。实际上对于无限减无限，你能算出从零到无限之间的任意结果。像我说的，对于无限减无限等于空格这个等式，不存在非常明确的结果。你会得到自相矛盾的结果。所以这些运算就被数学家禁止了。

至于上帝，人们经常问这个问题：“但难道上帝不是无限的吗？”我想在这里很重要的是要明白，上帝的无限不是一个数量概念。上帝不是一个数学数量。上帝的无限不是由无数个确定、单独的部分组成的一个集合的无限。当神学家讨论上帝是无限的时，它在某种程度上指的更是一个质的无限，而非量的无限。这就是说，上帝是全能、全知、道德完美、永恒、必然、全爱的。这些都不是数量概念。实际上，在某种意义上并没有叫做“无限”的某种单独的上帝属性。它就相当于祂全部至高属性的一个涵盖性术语。如果你在心里把全知、全能、永恒、必然、圣洁都拿掉，剩下的属性里没有叫做“永恒”的。那只是上帝拥有的所有这些至高属性的一个涵盖性术语。所以我们不该把上帝的无限视为一个量的概念。祂不包括实际无限数量构成其存在的确定、单独的部分。

学生：关于上帝的无限—对于上帝，祂是否可能会理解并且对实无限进行计算？例如，上帝是否可能在创造这个宇宙之前对实无限数量的反设事实进行了思考？

克雷格博士：哇。好吧。你现在进入到了非常难的形而上学的问题。你提出的是我们一次又一次碰到的这个古老的问题，即抽象对象是否存在的问题。因为命题（或者反设事实）是抽象对象的例子。如果存在像数学对象、数字、命题、可能世界、属性之类的抽象对象，那么这些就看似真是实无限的。但我认为这些事物不存在，因此它们与加扎利不可能存在实无限数量的事物的说法不矛盾。反实在论者不被那类反例困扰。要想这成为加扎利观点的反例，你必须证明柏拉图主义是真的，但并没有这种证据。[5] 柏拉图主义只是许多选择之一，我们对它没有责任和义务。当我们开始讨论这些事情的时候，我们就真的进入深水区了。

结束讨论

加扎利阐明实无限数量的事物真正不存在的方式是通过想象如果这样的一个集合存在的话会怎样，然后引出它的荒谬后果。我来与大家分享我最喜欢的示例之一，叫做“希尔伯特的酒店”，这是伟大的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的主意。

希尔伯特让我们先想象一家房间数量有限的普通酒店。我们假设酒店房间都住满了。整个酒店没有一个房间是空闲的。现在，假设前台又来了一位新客人要一间房。“抱歉，”经理说，“所有房间都住满了。”这位新客人不得不被拒绝。

但现在，希尔伯特想象道，我们假设有个酒店拥有无数个房间，我们再次假设这家酒店被全部住满。我们必须充分认识这一事实。整个无限的酒店没有一间房是空闲的；每个房间都住了一个有血有肉的人。现在假设前台来了一位新客人，要一间房。“没问题”，经理说。他把原先1号房间里的客人移到2号房间，他把原先2号房间里的客人请到3号房间，他把3号房间原先的客人搬到4号房间，直到无限。作为移位的结果，1号房间现在变成空闲的了，新客人很容易就被安顿好。然而，在他到来之前，所有房间都已经被住满了！

还有更糟糕的情况！现在，希尔伯特说，我们想象无数个新客人来到前台订房间。“没问题，没问题！”经理说。他把1号房间原先的客人移到2号房间，把2号房间原先的客人移到4号房间，3号房间原先的客人移到6号房间。他把每个房间里的人都移到房间号码是原先房间号码2倍的房间里。因为所有数字乘以2之后总等于偶数，这意味着原来所有的客人都住进了偶数号码的房间里。结果所有的奇数号码的房间就变成空闲的了，无数个新客人就可以感恩戴德地入住了。然而，在他们到来之前，所有房间已经住满了！

像有个学生曾跟我说过的，希尔伯特的酒店，如果它存在的话，门口得挂个牌子，写着：“客满（欢迎入住）”。

现实中这样一个酒店能存在吗？既然对这一例子没有任何涉及酒店的约束，这个论证可以被概括为证明实无限数量的事物之存在是真正荒唐的。

我之前没计划要讲关于希尔伯特的酒店更进一步的难题，但既然已经提出来了，我想说这位德国数学家并没全部展示这个酒店的荒唐之处。因为他未曾问过：如果人们开始从酒店退房离开会发生什么？假设所有奇数号房间的人退房离开—1，3，5，7，等等。还剩下多少个客人？嗯，所有偶数房间号的客人。无数个客人仍留在酒店里，虽然已经有无数个客人退房离开酒店了。但现在假设3，4，5，6，7号直到无限房间的客人退房了。还剩多少客人？如果有0号房间的话，只剩3个。然而，这次退房的人数和所有奇数号房间客人离开那次的人数相同。你从相同数量中减去相同数量却得到不同的结果，这是荒唐的。[6]

有人可能会说你不能用数学数量进行逆向运算。可能在纸面上不行，但你无法阻止人们从一个真实的酒店里退房离开。如果你试着堵住门，他们会从窗口逃走。这说明了实无限数量的事物真存在会带来的荒唐之处。

有时学生们会说产生这些荒唐的结果是因为无限的概念是超过我们的理解范围的，如此来应对希尔伯特的酒店这个案例。但这一反应是错误并且幼稚的。如我所言，无限集理论是现代数学领域高度发展、被充分理解的一个分支。产生这些荒唐的结果是因为我们确实理解实无限的本质。希尔伯特是个聪明人，他充分理解如何来演示实无限数量的事物存在所带来的离奇后果。

开始讨论

学生：我在维农山中学向一群高中生讲过这个论证。我们讲到对实无限的这一哲学理解。我用了你在史博特（Lee Strobel）的《为造物主的辩护》一书中提出的玻璃弹珠的例子。如果你有无数个弹珠，并且你想给另一个人无数个弹珠的话，你有不同的方式可以做到，并且你会得到荒唐的结果。我只是想说他们真的喜欢讨论这个问题，他们理解了。所以任何人说他们不能理解这些事情的话，高中生真的可以理解这类事情。他们就是很喜欢它。我只想说这点。

克雷格博士：谢谢你的鼓励。

学生：你说在数学里无限... 他们不被允许做这些减法之类的是因为会得到矛盾的结果。但有人说只要你不那样做，它就不是矛盾的。这使我想到莫里斯敦（Wes Morriston）喜欢提的一点，你把人们搬来搬去的就会产生矛盾，然而过去（正是你试图证明是有限的）不是这样的东西... 你不能把过去的日期像酒店里的人或者硬币和玻璃弹珠那样挪来挪去的。

克雷格博士：我从来不理解为什么有人会认为那是一个好的反对意见。关于希尔伯特的酒店，我们显然不是在讨论一个由砖头和木头砌成的真实的酒店，人们在其中试图沿着无限的走廊去找自己的房间。它是个概念性的思维实验。你想象一个住满客人的酒店，然后，在某种程度上，在思维里把所有奇数号房间里的人减掉。就是让他们蒸发掉。然后你得到偶数号房间里的这些人。你不要陷入物理上移动他们之类的困境。同样，关于过去事件的数量。如果你想象宇宙历史中过去的天数，很容易就在脑海中减去相隔的每天，或者所有的偶数日期的日子，然后问还剩下多少天。在我看来这类反对意见根本没有考虑到思维实验不基于现实、物理位移和实际操作的性质。

学生：好像一些人（主要是无神论者）的很多更本能的反应是说，好的，这并不荒唐。存在无限时就是这样的结果。这就是无限运行的方式，这没问题。

克雷格博士：好的。谢谢你说起这点，因为这与接下来要讲的有关。

结束讨论

真的，批评者在这时唯一能做的就是咬紧牙关，说希尔伯特的酒店并不荒唐。对啊，就是那样。有时他们会说如果实无限存在的话，那么这样的情况就是我们应期待的来辩解。但是，还是，我不认为这是一个充分的回应。希尔伯特当然会同意如果一个无限的酒店存在的话，那么他想象的这种情况就是我们该期待的。否则的话，这就不是一个好的示例了！对吧？所以这当然是实无限数量的事物如果存在会发生的结果。[7] 但问题是：这样一个酒店真是可能的吗？我想这些演示说明，不，这样一个事物并不真地可能。它只是形而上学上荒唐的。

所以我认为加扎利的第一个论证很好。它证明过去事件的数量一定是有限的。因为宇宙一定有一个开始。

我们可以这样总结这一论证：

1. 实无限不可能存在。

2. 无限时间回归的事件是实无限。

3. 因此，无限时间回归的事件不可能存在。

下节课我们看一下加扎利提出的支持宇宙有开始和过去有限性的第二个独立论证。[8]

自然神学附论 （第九部分）

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