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#12 通过连续加增形成一个完整的无限

October 29, 2012
Q

亲爱的克雷格博士:

我对您所提出支持宇宙开始存在的一个哲学论点存着疑问,那就是通过连续加增而形成一个完整的无限是不可能的观点。您进行的辩证如下:

1、一个由连续加增而形成的集合不可能是完整的无限。
2、过去事件的时间序列是由连续加增而形成的一个集合。
3、因此,过去事件的时间序列不可能是完整的无限。

这一辩证揭示出关于无限序列事件的概念的一个特点,该特点让我很困惑。为了布局,我们先假设过去是无限的。根据时间的时态概念,在无限的过去所发生的每个事件直到目前为止都是必需“经历”的真实事件。如果这样的话,所有那些事件怎么可能一件接着一件的被经历过直到目前呢?我们怎能准确的达到那个没有起点的序列尽头呢?当前的事件怎么能发生如果在它发生之前需要有无限数量的先前事件必须先发生呢?

就像我说的,这似乎令人非常困惑。但是我又无法确定的指出这是为什么。我认为追溯没有开始的序列是荒谬的,这是否只是我简单的直觉?正如您在答复约翰·泰勒John Taylor时所写的:“问题在于,在,一个没有开始却终结于目前的一个无限序列事件在形而上学上是否是可能的。直观上,这似乎是不可能的,因为,如果在当前事件发生之前必须有无限数量的事件接二连三的发生的话,那么目前事件是不可能发生的。”[“迅速又简单的反驳卡拉姆宇宙论?”宗教研究 35(1999):57-72。脚注26]。这就是使我接受这论点的主要因素。但是否有方法能更深入的分析我们的直觉来寻求这种追溯是不可能的确切的原因?或者这是无法分析的?

对这种论点的“传统反对”是,穿越无限唯一不可能的条件是如果它有一个开始点。但是,无论这个答复想要解决的是什么,它似乎没有反驳我们的直觉或减少情况本身所引起明显的荒谬性;考虑了反对意见之后,我仍然感到真实的困惑这种穿越怎么可能。

我们的直觉并不是基于以下的论点:对于所数的每一个数字,在达到无限之前,总有另一个数字要先被数出来——是这样的吗?因为这似乎受到传统反对者的影响。韦斯莫里斯顿Wes Morriston[“过去必须有一个开端吗?”斐洛,第二卷Philo, Vol. 2(1999年)1,5-19]等指出,这种观察似乎只涉及在某一点开始的计数,好像不能被有效的用来支持这概念---一个没有起点的事件序列是不可能的。我们的直觉是依赖这样的观察还是独立自主的呢?

(提示:我考虑这论点只在纯粹骨架的形式上,,没有考虑其他形式的讨论,例如,项狄传悖论(Tristram Shandy paradox(es))。我想看看这观点是否可以在不使用这样令人费解和思想实验的情况下得到捍卫。)

麦克

United States

克雷格博士的回复


A

麦克,很显然,我跟您有着同样的直觉!基本上,您所提的是确保前提(1)的问题。当您反映这观念时您会发现藉着连续加增而形成一个完整无限事物的集合是无法实现的。您想知道,我们是否能够把这一直觉摊开来看看为什么这是不可能实现的。

在以有限数量为开端,在其上加增有限数量的案例中,我们可以清楚地指出问题所在:因为任何有限的数量加上其他有限数量,永远都是有限的数量,即使我们不断的加下去,也永远不会达到无限。在这种情况下,无限只是我们无法达到的一个极限。

真正令人费解,甚至难以置信的提议说:只藉着加入有限的数量,我们就能形成一个无限的数量或集合——比如某些棒球卡的收集——若从来没有开始怎能结束于某一时点!在这里的不可能性,不能分析为在有限的数量上加增有限的数量而得到一个无限的数量的不可能性,因为在这种情况下,那有限的数量是加增在本来已经是无限的数量上。所以总和当然是一个无限的数量。这里的无限并不仅仅作为一种极限,而是具体内容元素的一个集合。

现在如果您留意到,仍然没有人能解释我们怎么能够藉着连续加增而形成我们无限数量棒球卡片的收集。因为在过去的任何一个时间点,这些收集已经是无限的,而总集合都尚未形成。直到加上最后一张牌后总集合才会形成。从过去的任何一点起,只需要添加有限的卡片数量来完成整个集合。但是悬而未决的问题是,整个无限的集合怎能经过连续加添而形成。

 对我来说,问题出在:集合若能完成,我们必须已经一次一张的列举了之前无数的卡片。但是在最后一张卡片加上之前,在它前面的那张卡片必须先加上;在那张卡片能被加上之前,在它前面的那张卡片必须先加上;照例延续下去,一直到无限。所以就这样一点一点的被推到无限的过去,使得加任何的卡片到这集合中成为不可能。

以这种方式来辩论有点类似于齐诺(Zeno)的说法:在阿基利斯(Achilles)穿过体育场之前,他必须要先通过体育场的一半;在他穿过体育场的一半之前,他必须要穿过体育场的四分之一;但是在他能够穿过体育场的四分之一之前,他必须要穿过体育场的八分之一;以此类推,一直到无穷。因此,阿基里斯不可能达到任何一点。齐诺的悖论的解答是指出阿基里斯穿越的时段是潜在的和不规则的。齐诺随意的假设任何有限的时段都是由无限多的点组成的,然而齐诺的对手,像亚里士多德,在我们分隔时段之前就在理念上把时段视为一个整体。此外,齐诺的时段间隔是不等的,加起来仅仅是有限的距离。相反,在一个无限的过去的情况下,时间间隔是实际的和相等的,并且加起来是一个无限的距离。

我认为在这个阶段批评家对这争议最好的策略是提议:如果一个人以每秒一张卡片的速度来加增卡片,那么这个无限的集合就能够被实现,因为在没有开始的过去有无穷的秒数。但很明显,这种反应只是把问题往回推了一个档次:因为问题变成了,过去秒数的无限集合如何能通过连续的加增而形成呢?因为在前面那一秒消逝之前,在它前面的那一秒必须先消逝,以此类推。因此这问题可应用在时间的本身,它却不能解决过去无限时间的问题。

当然,时间的静态或无时态(tenseless)理论的支持者会否认时间在某时点真的会流逝,但是他们所反对的实际上是前提(2),而不是前提(1)。

如果一个人还不信服这种说法,那么我将会提出对前提(1)进一步的捍卫,我会争辩如果一个完整的无限能够通过连续加增而形成,那么各样的荒谬都可能形成。若根据安萨里(al-Ghazali) 对我们的太阳系从无限的过去就存在的设想来考虑,其中行星统筹的轨道周期是那么的协调,土星所运行的每一周期,木星需要运行2.5个周期。如果它们从永恒就已经绕着轨道运行,那么哪一个行星运行过的周期最多呢?正确的数学答案是,他们完成的轨道数量是完全相同的。但是,这却是荒谬的。想想看:木星和土星旋转的时间越长,他们之间的差距越大,当它们继续不断的向极限进行,越接近极限,木星越无限的落在土星之后。但是,既然都是无限,它们各自所运行的周期却莫名其妙的相等。的确,它们事实上从无限的过去“达到”极限:所运行过的周期数量总是相同的。因此,木星和土星各自分别完成了无限数量的周期,而且这个数字永远是相等的,并且永远都不会改变,尽管它们还在继续运行而且在任何有限的时段里它们之间的差距正在日益扩大。这实在是太不可理喻了。

更糟的是:假设我们遇到一个人,他声称他从无限开始倒数,现在就要数到头了:... ,-3,-2,-1,0。我们可以问,他为什么没有在昨天,或者前天,或者去年倒数完成呢?在那时候,无限的时间已经消逝了,他应该早就数完了​​。因此,在无限的过去的任何点上我们都不能找到这个能完成倒数的人,因为在那个点之前他都应该已经完成了他的倒数​​!实际上,不管我们往回走多远,我们永远找不到倒数的人,因为当我们达到任何一点,他都已经应该完成了他的倒数。如果我们在过去找不到他开始倒数的那一点的话,这就和他从永恒开始倒数的假设相矛盾。这再次表明,通过从来没有开始却达到结束的方式来形成完整的无限,与在某一点开始而企图达到无限是一样的不可能。

因此,为了捍卫前提(1),我提供两种形式的辩论:直接的辩证和间接的、归纳的辩证。前者反对通过从来没有开始却在某一点结束的方式形成一个完整无限的可能性;后者是说如果前提(1)不成立,那么各种不可理喻的荒谬就会接踵而来。

- William Lane Craig